برای پیدا کردن برد تابع \(\frac{1+3\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\)، ابتدا دامنه تابع را مشخص میکنیم. چون \(\sqrt{x}\) موجود است، بنابراین \(x\) باید غیرمنفی باشد یعنی \(x \geq 0\).
به ازای هر \(x\) غیرمنفی، \(t = \sqrt{x}\) نیز غیرمنفی و یک عدد حقیقی است. تابع جدید را مینویسیم:
\[ f(t) = \frac{1+3t}{1+t} \]
اکنون باید تحلیل کنیم که \(f(t)\) چه مقادیری میتواند بگیرد. برای این منظور، ابتدا تابع را به شکل زیر تبدیل میکنیم:
\[ f(t) = \frac{1+3t}{1+t} = 1 + \frac{2t}{1+t} \]
\(u = \frac{2t}{1+t}\) میتواند چه مقادیری بگیرد؟ چون \(t \geq 0\) است، میتوانیم بازهی تغییر را برای \(u\) به صورت زیر مشحص کنیم:
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{2t}{1+t} = 0
\]
\[
\lim_{t \to \infty} \frac{2t}{1+t} = 2
\]
بنا بر این \(u\) از صفر تا ۲ تغییر میکند. پس:
\[
0 \leq u < 2
\]
بنابراین:
\[ 1 \leq f(t) < 3 \]
در نتیجه، برد تابع \(\frac{1+3\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\) برابر است با بازه:
\[ [1, 3) \]
